Kẻ SH vuông góc AB tại H.

a, Ta có: \(h=SH=AH.tan\alpha=2a\)

\(\Rightarrow V=\dfrac{1}{3}.B.h=\dfrac{1}{3}.\left(2a\right)^2.2a=\dfrac{8a^3}{3}\)

b, \(SB=BC.tan\alpha=2\sqrt{5}a\Rightarrow SH=\sqrt{SB^2-BH^2}=\sqrt{19}a\)

\(\Rightarrow V=\dfrac{1}{3}.B.h=\dfrac{1}{3}.\left(2a\right)^2.\sqrt{19}a=\dfrac{4\sqrt{19}a^3}{3}\)

c, Kẻ HI vuông góc với CD.

Ta có: \(SH=HI.tan\alpha=6a\)

\(\Rightarrow V=\dfrac{1}{3}.B.h=\dfrac{1}{3}.\left(2a\right)^2.6a=8a^3\)

Đáp án A.

Phương pháp    

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng đáy.

Cách giải

S C ; A B C D = S C ; A C = S C A

ABCD là hình vuông cạnh a  ⇒ A C = a 2

Xét tam giác vuông SAC có:

tan = S A A C = 2 a a 2 = 2

Chọn B

Đáp án A.

- Ta có:

- Vì ABCD là hình vuông cạnh a.

Chọn A.

- Ta có:

- Vì ABCD là hình vuông cạnh a:

+ SA⊥(ABCD)⇒SA⊥BDSA⊥(ABCD)⇒SA⊥BD (1)

+ ABCD là hình vuông ⇒AC⊥BD⇒AC⊥BD (2)

+ Từ (1) và (2) suy ra BD⊥(SAC)⇒BD⊥SCBD⊥(SAC)⇒BD⊥SC

Gọi $H$ và $K$ là trung điểm của $AD$ và $SC$ và $O$ là tâm của hình vuông $ABCD$.

Khi đó $NK//MH$.

$(MHNK)\cap (SAC)=OK$ và $(MHNK)\supset MN$.

Trong $(MHNK)$, gọi $E=MN\cap OK$ hay $MN\cap (SAC)=E.$

Gọi $I$ là trung điểm của $OC\Rightarrow MI\perp OC$.

Mà $SA\perp MI\Rightarrow MI\perp (SAC).$

$\Rightarrow EI$ là hình chiếu vuông góc của $MN$ trên $(SAC)$.

\Rightarrow \alpha = \widehat{EI, MN} = \widehat{MEI}⇒α=EI,MN​=MEI (do $\Delta MEI$ vuông tại $I$).

Ta có ME = \dfrac12.MN = \dfrac12.\sqrt{MH^2 + NH^2} = \dfrac12\sqrt{\dfrac{a^2}4 + a^2}= \dfrac{a\sqrt5}4ME=21​.MN=21​.+=21​4a2​=4a5​​.

và MI =\dfrac12 OB = \dfrac{a\sqrt2}4\Rightarrow EI =\sqrt{ME^2 - MI^2}=\dfrac{a\sqrt3}4MI=21​OB=4a2​​⇒EI=−=4a3​​.

Vậy \tan \alpha = \tan \widehat{MEI} = \dfrac{\frac{a\sqrt2}4}{\frac{a\sqrt3}4} = \dfrac{\sqrt6}3tanα=tanMEI=4a3​​4a2​​​=36​​.

- Xác định góc \(\alpha\) giữa SC và mặt phẳng (SAB)

\(\left\{{}\begin{matrix}S\in\left(SAB\right)\\CB\perp\left(SAB\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[\widehat{SC,\left(SAB\right)}\right]=\widehat{CSB}=\alpha\)

- Tính góc \(\alpha\) :

Trong tam giác vuông \(SBC\), ta có :

\(\tan\alpha=\dfrac{BC}{SB}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow\alpha=30^0\)

\(SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow\widehat{SCA}\) là góc giữa SC và (ABCD)

\(AC=a\sqrt{2}\Rightarrow tan\widehat{SCA}=\dfrac{SA}{AC}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)

\(\Rightarrow\widehat{SCA}=30^0\)

Chọn D.

Vì  S A ⊥ ( A B C D )  nên AC là hình chiếu vuông góc của SC lên(ABCD).

Góc giữa giữa SC và mp (ABCD) bằng góc SC&AC ⇒ α = SCA.

Xét tam giác SAC vuông tại A có

⇒ α = 60 o